Tišina je govor onog što nedostaje
Zamislite da prostor ne postoji sam po sebi, već da je ono što zovemo “prostor” samo knjiga veza između tačke i tačke, između pojave i pojave. I sad, evo nam pitanja:
Šta ako počnemo da čitamo tu knjigu od pozadi?
U mom radu pokušavam upravo to. Uvodim matematičku strukturu koja ne posmatra samo gde veza “postoji“, već i gde je “nema“. (ne zaboravite, ipak, da su i postojanje i nepostojanje suštinski filozofske kategorije mnogo više nego što su matematičke ili fizičke)
I ono što je zanimljivo je da se iz te “praznine” rađa nova geometrija.
Kako izgleda “prostor bez prostora”?
Počnimo jednostavno. Zamislite da imate mrežu: čvorove i veze između njih. Klasično, sve analize gledaju tu mrežu – ko je blizak kome, kakve su grupe, koliko je sve gusto.
Ali zamislite sada da gledate suprotno: ne “gde su veze”, već gde nisu. Da probamo da formalizujemo sve ono što je “tiho”, “udaljeno”, “odsutno”.
Ono što dobijamo tada je inverzna matrica povezanosti, nazvana W̃. I ona nije samo suprotnost ona je struktura sama za sebe.
Kao da pored naše opažajne stvarnosti postoji još jedna – inverzni univerzum, u kome daleko postaje blizu, a blisko se povlači. A to nije puka metafora to je spektralna činjenica.
Zašto bi nas to zanimalo?
Saglasan sam da nije svaka konzistentna misaona struktura korisna, sigurno je da sam i subjektivan ali potrudiću se, nadam se zajedno sa nekim od vas, da pokažem koliko ovaj formalizam može biti koristan.
Zato što mnoge stvari u svetu izgledaju razdvojeno, a ipak deluju povezano.
Entanglement. Crne rupe. Dešavanja na berzi. Evolucioni skokovi. Mreže koje pucaju na najslabijim tačkama.
Klasična analiza kaže: “Nema veze = nema podatka.”
Ali šta ako kažemo:
Nepovezanost sama može biti nosilac informacije.
Inverzna povezanost otkriva obrasce tamo gde ih nismo ni tražili. Ako menjamo atribute po kojima nešto smatramo povezanim menjamo i ontološki pogled na to da li su povezani ili ne.
Gde inverzni pogled može da pomogne?
U društvenim mrežama, pokazuje ko je nevidljivi most između razdvojenih grupa.
- U mozgu, pokazuje koji regioni nikad ne sarađuju i baš zato mogu biti ključni za kreativnost ili disfunkciju.
- U tržištima, otkriva gde fali korelacija tamo gde bi je teorija očekivala.
- U biologiji, ukazuje na gene koji se nikad ne javljaju zajedno i to nije slučajno.
- U kvantnoj fizici, nudi jezik u kome udaljeni čvorovi postaju bliski: možda upravo tu “stanuje” entanglement.
U svim tim slučajevima, klasične metode gledaju prisustvo, ali inverzna analiza gleda odsustvo kao signal.
Malo matematike, ako ste znatiželjni
Uzimamo matricu povezanosti W simetričnu, pozitivnu, normalizovanu.
Ona opisuje “koliko” su dve tačke povezane.
Ali onda konstruišemo njenu dopunsku strukturu:
$$\widetilde{W}{ij} = \frac{1 – W{ij}}{1 – W_{ij} + \varepsilon} \cdot \frac{1}{N}$$
W~ij=1−Wij1−Wij+ε⋅1N\widetilde{W}_{ij} = \frac{1 – W_{ij}}{1 – W_{ij} + \varepsilon} \cdot \frac{1}{N}W
Gde je ε mali broj za stabilnost, a N je normalizacioni faktor. Ova nova matrica nije samo ostatak ona ima sopstvenu spektralnu geometriju, sopstvene eigenvrednosti, sopstvenu topologiju.
U tom smislu, neposredno povezana i inverzno povezana mreža su kao pozitivna i negativna slika iste fotografije.
Setimo se Grotendika – uvek
Kao što je Grotendik nekada rekao “Matematičar ne dokazuje teoreme. On gradi svetove.”
Ovo je pokušaj da se izgradi svet od odsustva.
I ono što je najlepše : ovaj inverzni svet nije haotičan.
On ima simetriju. Ima spektar. Ima geometriju.
I ako pažljivo gledate, ima čak i prostor za snopove, da Grotendikove snopove.
Jer šta je snop ako ne lokalno-globalna struktura, savršeno je “kod kuće” u svetu u kome lokalnost i globalnost menjaju mesta?
Možda ovo nije samo alat za analizu grafova.
Možda je nova pozornica za teorije koje još nismo ni uočili. Svi ste naravno dobrodošli na tu zabavu.
Gde da pogledamo?
Naposletku, razum nam stalno govori šta da gledamo.
Ali ponekad treba da okrenemo pogled na ono što ignorišemo.
Ovaj rad je pokušaj da gledamo gde niko ne gleda – u “prazninu” između “veza”.
I možda, baš tamo, počinje nova vrsta svetlosti.
Radoznali? Ceo rad možete čitati ovde:
Spectral Duality in Connectivity Structures
Оставите одговор